Sử dụng phương pháp đại số, giải hệ phương trình tuyến tính. Ký hiệu số bò đực màu trắng, đen, đốm và vàng là W , B , D {\displaystyle W,B,D} và Y {\displaystyle Y} .Số bò cái màu trắng, đen, đốm và vàng là w , b , d {\displaystyle w,b,d} và y {\displaystyle y} .

Mối liên hệ giữa số lượng bò mỗi màu chuyển về hệ phương trình:

W = 5 6 B + Y B = 9 20 D + Y D = 13 42 W + Y w = 7 12 ( B + b ) b = 9 20 ( D + d ) d = 11 30 ( Y + y ) y = 13 42 ( W + w ) {\displaystyle {\begin{aligned}W&{}={\frac {5}{6}}B+Y\\B&{}={\frac {9}{20}}D+Y\\D&{}={\frac {13}{42}}W+Y\\w&{}={\frac {7}{12}}(B+b)\\b&{}={\frac {9}{20}}(D+d)\\d&{}={\frac {11}{30}}(Y+y)\\y&{}={\frac {13}{42}}(W+w)\end{aligned}}} .

Hệ phương trình này có 8 ẩn và 7 phương trình. Do đó hệ vô số nghiệm.

Biểu diễn hệ theo ma trận, với thứ tự các biến là W, B, D, Y, w, b, d, y: thì:

[ 1 − 5 6 0 − 1 0 0 0 0 0 1 − 9 20 − 1 0 0 0 0 0 1 − 9 20 − 1 0 0 0 0 − 13 42 0 1 − 1 0 0 0 0 0 − 7 12 0 0 1 − 7 12 0 0 0 0 − 9 20 0 0 1 − 9 20 0 0 0 0 − 11 30 0 0 1 − 11 30 − 13 42 0 0 0 − 13 42 0 0 1 ] [ W B D Y w b d y ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {-5}{6}}&0&-1&0&0&0&0\\0&1&{\frac {-9}{20}}&-1&0&0&0&0\\0&1&{\frac {-9}{20}}&-1&0&0&0&0\\{\frac {-13}{42}}&0&1&-1&0&0&0&0\\0&{\frac {-7}{12}}&0&0&1&{\frac {-7}{12}}&0&0\\0&0&{\frac {-9}{20}}&0&0&1&{\frac {-9}{20}}&0\\0&0&0&{\frac {-11}{30}}&0&0&1&{\frac {-11}{30}}\\{\frac {-13}{42}}&0&0&0&{\frac {-13}{42}}&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}W\\B\\D\\Y\\w\\b\\d\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}}

Có thể giải theo cách phổ thông. Ta biểu diễn các nghiệm theo công thức tổng quát:

B = 7460514 k W = 10366482 k D = 7358060 k Y = 4149387 k b = 4893246 k w = 7206360 k d = 3515820 k y = 5439213 k {\displaystyle {\begin{aligned}B&{}=7460514k\\W&{}=10366482k\\D&{}=7358060k\\Y&{}=4149387k\\b&{}=4893246k\\w&{}=7206360k\\d&{}=3515820k\\y&{}=5439213k\end{aligned}}} .

Như số lượng bò gấp 50 389 082 lần k.

4 số đầu tiên đều chia hết cho 4657. Con số này ta sẽ gặp nhiều về sau.

Lời giải tổng quát được A. Amthor [3] tìm ra vào năm 1880.Lời diễn giải sau đây là của H. W. Lenstra [4], dựa trên phương trình Pell.

Nhân các nghiệm tổng quát vừa tìm được với:

n = ( w 4658 j − w − 4658 j ) 2 ( 4657 ) ( 79072 ) {\displaystyle n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}}\,}

trong đó

w = 300426607914281713365 609 + 84129507677858393258 7766 {\displaystyle w=300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}}}

và j là số nguyên dương bất kì. w có thể biểu diễn tương đương

w 2 = u + v ( 609 ) ( 7766 ) {\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}}\,}

với {u, v} là nghiệm cơ bản của phương trình Pell

u 2 − ( 609 ) ( 7766 ) v 2 = 1 {\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1\,}

Muốn số lượng gia súc là nhỏ nhất thì chọn j nhỏ nhất, j = 1.

Đáp số: số lượng gia súc của Thần Mặt Trời xấp xỉ 7.76 × 10 206544 {\displaystyle 7.76\times 10^{206544}} (kết quả này được A. Amthor công bố đầu tiên).

Ngày nay, các máy tính có thể dễ dàng tính ra kết quả chính xác đến từng chữ số của bài toán này. Điều đó được thực hiện lần đầu tiên ở đại học Waterloo, vào năm 1965 bởi H. C. Williams, R. A. German, và C. R. Zarnke. Họ dùng kết hợp máy tính IBM 7040 và IBM 1620.

Phương trình Pell

Với dữ kiện thứ hai của bài toán.

Tổng số bò đực đen và bò đực trắng là số chính phương:

B + W = 7 , 460 , 514 k + 10 , 366 , 482 k = ( 2 2 ) ( 3 ) ( 11 ) ( 29 ) ( 4657 ) k {\displaystyle B+W=7,460,514k+10,366,482k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k\,}

suy ra k = (3)(11)(29)(4657)q2, với q là số nguyên.

Tổng số bò đực đốm và bò đực vàng là số tam giác:

D + Y = t 2 + t 2 {\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}}

suy ra:

t = − 1 ± 1 + 8 ( D + Y ) 2 = − 1 ± 1 + 92059576 k 2 {\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+92059576k}}}{2}}}

Suy ra 1+92059576k là số chính phương, dẫn đến phương trình Pell sau (thay k = (3)(11)(29)(4657)q2)

p 2 − ( 4 ) ( 609 ) ( 7766 ) ( 4657 2 ) q 2 = 1 {\displaystyle p^{2}-(4)(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1\,} .